Воевал на Западном фронте. Заместитель артиллерийского дивизиона 36 артиллерийского полка 53 стрелковой дивизии в 43 армии. Участник освобождения г. Малоярославца от немецко-фашистских захватчиков. Указом президиума Верховного совета СССР от 28 апреля 1945 года «За мужество и героизм, проявленные в боях с врагом, майору Алпаидзе Галактиону Елисеевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая звезда» (№5434).  После Великой Отечественной войны продолжил службу в Советской Армии. С 1957 года — командир артиллерийской дивизии. С 1963 — начальник космодрома Плесецк. Воинское звание — генерал-лейтенант.

   Награжден орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени, орденом Александра Невского,  орденом Отечественной войны I степени, орденом Трудового Красного Знамени, четырьмя орденами Красной Звезды, многими медалями СССР, орденами и медалями Венгрии и Румынии. Лауреат Государственной премии (1977).

   За проявленное мужество, смелые и решительные действия в боях при освобождении города Малоярославца Г.Е. Алпаидзе 28.12.1981 года  было присвоено звание «Почетный гражданин города Малоярославец».